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Barbalat’s lemma => for time-varying system. (non-autonomous system) 을 분석할 때, 중요하게 쓰인다.

정의 :

f(t)가 C에 수렴하고.

f’(t)가 uniformly continuous. 하거나 f’’(t)가 수렴 할 때,

uniformly continuous 한 함수란 함수 f(t)가  

$$ |t - t_{n}| <= \delta $$ 면서 $$ |f(t) - f(t_{n})| <= \epsilon $$

인 경우.

f’(t) -> 0으로 수렴한다. (꼭 0으로 수렴해야만함.)


증명 :

Contradiction을 이용하여 증명한다.
만약, 위의 정의를 만족하지만, f’(t) = 0으로 수렴하지 않는다고 하면,

f’(tn)은 일정 부분(a, 무한대) 에서 |f’(tn)| >= C 인 C (C != 0) 값을 갖는다. (a는 C != 0 이 아니게 만족하는 어떤수 => 항상 존재 할수 밖에 없음 왜냐하면 f’(t)는 0에 수렴하지 않으니까)

그리고 f’(t)는 uniformly continuous 하기 때문에
$$ |t - t_{n}| <= \delta  $$ 면서 $$ |f(t) - f(t_{n})| <=  \frac{\epsilon}{ 2} $$
를 만족하는 delta를 정하고.
따라서 만약 t 가 [tn,tn+delta] 사이의 값일때
$$ |f'(t)| = |f’(t_{n}) − (f’(t_{n}) − f'(t))| $$
이고,
$$ >= |f’(t_{n})| - |f’(t_{n}) - f’(t)| $$
$$ >= \epsilon - \frac{\epsilon}{2} $$
$$ =  \frac{\epsilon}{2} $$

그러므로 이식을 적분하면. 
      

출처 : 링크 


Barbalat’s lemma를 적용해보면

이 문제에서 확인해보자 : 링크 

의 문제를 보면 알겠지만, 일반적인 autonomous 한 상황에서는 Lyapunov로 stable 한지 아닌지를 판별하지만, non-autonomous 때는 system이 time varying한지 모르기 때문에 수렴하는지 확인해봐야한다. 할때는 Lyapunov function의 시간으로 두번 미분한 값이(V’’(t)) 가 수렴 한다는 것을 증명하고, V가 수렴 한다는 것을 증명한다면.

V_dot이 0으로 간다는 것을 알 수 있고, 이를 통해서 다양한 변수들이 시간이 지남에 따라 어디로 흘러가는 파악할 수 있다. 이를 이용해서 오차 값 e가 0으로 수렴하는지 등을 알 수 있다. 


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