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Invariant sets


만약 점들의 집합(M)이 state space안에 시간에 불변하게 계속 있으면.

$$ x(t_{0}) \in M => x(t) \in M $$ 
for all $$  t > t_{0} $$

예를 들면, Equilibrium 점들 이나
제한된 사이클들 이나 
V(x)의 level 들일 때.

만약, t->infinite 일 때 V_dot(x) -> 0 면,
x(t)는 M set 으로 수렴하고, M엔 V_dot(x) = 0인 점도 포함되어있다. 


Global invariant set theorem.


만약, V(x) 가 positive definite이고
V_dot(x) <= 0 이면서 V(x) -> infinite as ||x|| -> infinite 라면,

(i) V_dot(x) -> 0 as t -> infinite
(ii) x(t) -> M = the largest invariant set contained in R where R = {x : V_dot(x) = 0}



Local invariant set theorem


연속적인 미분가능한 함수 V(x)가 다음과 같은 조건을 만족한다면,
 
 level set PI = { x : V(x) <= V0 } 가 Vo로 bound 하고, V_dot(x) <= 0 ( x 가 PI 중 하나일 때 )

그러면

 (i) PI 는 변하지 않는 set이고
(ii) x(0)는 PI의 값중 하나면  => V_dot(x) -> 0 as t -> infinite
(iii) x(t) -> M = 가장 큰 변하지 않는 set 이면서( M성분은 {x : V_dot(x) = 0} 

이다.
 
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